حساب حجم العينة: معادلة ستيفن ثامبسون وجدول كريجسي ومورجان ومعادلة كوكران

من أول الأسئلة التي يواجهها الباحث في فصل الإجراءات: كم فردًا يجب أن تضم عينتي؟ والإجابة لا تُترك للتقدير الشخصي، بل تُبنى على طريقة معروفة يمكن للمناقش أن يتحقق منها. وأكثر ما يبحث عنه طلاب الدراسات العليا في الخليج هو حساب حجم العينة بمعادلة ستيفن ثامبسون، إلى جانب جدول كريجسي ومورجان ومعادلة كوكران.

في هذا المقال ستتعرف إلى العوامل التي تحدد حجم العينة، ثم تطبق كل طريقة من الطرق الثلاث على مثال رقمي محلول خطوة بخطوة، وتتعلم كيف تعدّل الحجم وفق نسبة الاستجابة المتوقعة، ومتى يكون المسح الشامل للمجتمع أنسب من سحب عينة.

ما العوامل التي تحدد حجم العينة؟

تعتمد المعادلات الثلاث المشروحة هنا على أربعة عناصر، ومن المهم أن تفهمها لأن المناقش قد يسألك عن أي منها:

• حجم المجتمع (N): عدد جميع الأفراد الذين تنطبق عليهم شروط الدراسة، مثل جميع معلمي العلوم في المرحلة المتوسطة بمدينة ما.
• مستوى الثقة: وأشيعه 95%، وتقابله الدرجة المعيارية z = 1.96.
• هامش الخطأ (d): أقصى فرق تقبله بين نتيجة العينة وقيمة المجتمع، وأشيعه 0.05.
• نسبة توافر الخاصية (p): تؤخذ عادة 0.50 لأنها تعطي أكبر حجم عينة ممكن، أي أنها الاختيار الأكثر تحفظًا عندما لا تتوفر معلومات مسبقة.

جدول كريجسي ومورجان: كيف تستخدمه؟

نشر Krejcie و Morgan عام 1970 جدولًا جاهزًا يعطي حجم العينة المناسب لكل حجم مجتمع، بافتراض مستوى ثقة 95% وهامش خطأ 0.05 ونسبة 0.50. وهذه بعض قيمه:

ويقوم الجدول على المعادلة الآتية، حيث X² = 3.841 قيمة مربع كاي عند درجة حرية واحدة ومستوى ثقة 95%:

S = X² × N × P(1 − P) ÷ [d² × (N − 1) + X² × P(1 − P)]

مثال محلول

مجتمع من 1000 معلم: البسط = 3.841 × 1000 × 0.25 = 960.25. والمقام = (0.0025 × 999) + (3.841 × 0.25) = 2.4975 + 0.96025 = 3.45775. إذن S = 960.25 ÷ 3.45775 ≈ 277.7، أي 278 معلمًا، وهي القيمة نفسها الواردة في الجدول.

ولاحظ أن حجم العينة لا يزيد بنسبة زيادة المجتمع؛ فمع المجتمعات الكبيرة جدًّا يقترب الحجم المطلوب من 384 تقريبًا مهما كبر المجتمع.

معادلة ستيفن ثامبسون: الصيغة ومثال رقمي

تنتشر هذه المعادلة في الرسائل العربية منسوبة إلى كتاب Steven K. Thompson في المعاينة، وصيغتها:

n = N × p(1 − p) ÷ [(N − 1) × (d² ÷ z²) + p(1 − p)]

حيث n حجم العينة، و N حجم المجتمع، و z = 1.96 عند مستوى ثقة 95%، و d = 0.05، و p = 0.50.

مثال محلول

باحثة تدرس اتجاهات معلمات المرحلة الابتدائية نحو التعليم الإلكتروني في مدينة ما، وعدد المعلمات في المجتمع 1200 معلمة. وهذا مثال توضيحي:

1. p(1 − p) = 0.50 × 0.50 = 0.25.
2. البسط = 1200 × 0.25 = 300.
3. d² ÷ z² = 0.0025 ÷ 3.8416 ≈ 0.00065077.
4. (N − 1) × 0.00065077 = 1199 × 0.00065077 ≈ 0.78027.
5. المقام = 0.78027 + 0.25 = 1.03027.
6. n = 300 ÷ 1.03027 ≈ 291.18.

يُقرَّب الناتج دائمًا إلى العدد الصحيح الأعلى، فيكون حجم العينة 292 معلمة.

معادلة كوكران: متى تستخدم التصحيح للمجتمع المحدود؟

تُنسب هذه المعادلة إلى كتاب William G. Cochran في أساليب المعاينة، وتُطبق على مرحلتين:

المرحلة الأولى: الحجم المبدئي

n₀ = z² × p × q ÷ e²، حيث q = 1 − p، و e هامش الخطأ.

عند z = 1.96 و p = q = 0.50 و e = 0.05: n₀ = 3.8416 × 0.25 ÷ 0.0025 = 384.16. وهذا الحجم يناسب المجتمعات الكبيرة جدًّا أو غير المعروفة الحجم.

المرحلة الثانية: التصحيح للمجتمع المحدود

n = n₀ ÷ [1 + (n₀ − 1) ÷ N]

مثال محلول: مجتمع من 3500 طالبة في كلية جامعية. (n₀ − 1) ÷ N = 383.16 ÷ 3500 ≈ 0.10947. والمقام = 1.10947. إذن n = 384.16 ÷ 1.10947 ≈ 346.25، فيكون حجم العينة 347 طالبة.

كيف تعدّل حجم العينة وفق نسبة الاستجابة؟

الحجم الذي تحصل عليه من المعادلة هو عدد الاستبانات الصالحة للتحليل التي تحتاجها، لا عدد الاستبانات التي توزعها. فإذا توقعت ألا يستجيب الجميع، فوزّع عددًا أكبر وفق القاعدة:

عدد الاستبانات الموزعة = حجم العينة المطلوب ÷ نسبة الاستجابة المتوقعة

في مثال المعلمات السابق، إذا قدّرت نسبة الاستجابة بـ 70%: 292 ÷ 0.70 ≈ 417.1، فتوزع 418 استبانة. ونسبة 70% هنا افتراض توضيحي؛ قدّر النسبة من تجربتك في العينة الاستطلاعية أو من دراسات سابقة على مجتمع مشابه.

وعند وصف العينة النهائية، في فصل الإجراءات عادة أو حيث يحدد دليل جامعتك، اذكر عدد الاستبانات الموزعة، والمستردة، والمستبعدة وسبب استبعادها، والصالحة للتحليل، ونسبة الاستجابة الفعلية.

متى تستخدم المجتمع كاملًا (المسح الشامل)؟

إذا كان المجتمع صغيرًا ويمكن الوصول إلى جميع أفراده، فالمسح الشامل غالبًا أفضل من سحب عينة. فمثلًا مجتمع من 100 فرد يتطلب وفق جدول كريجسي ومورجان عينة من 80 فردًا، أي معظم المجتمع، فلا معنى لترك العشرين الباقين. ومن أمثلة ذلك دراسة جميع قائدات المدارس الثانوية في محافظة صغيرة، أو جميع أعضاء هيئة التدريس في قسم واحد.

• في المسح الشامل لا تحتاج إلى معادلة لحساب العينة، لكن عليك أن تذكر حجم المجتمع ومصدر إحصائه.
• يبقى عدم الاستجابة واردًا، فاذكر عدد الردود الصالحة ونسبتها من المجتمع.
• لا تنس استبعاد أفراد العينة الاستطلاعية من التطبيق النهائي إن كان ذلك ما يعتمده قسمك.

كيف تكتب فقرة حجم العينة في فصل الإجراءات؟

بهذه الصياغة يعرف القارئ حجم المجتمع ومصدره، والطريقة المستخدمة وقيمها، والحجم الناتج، وما فعلته لتعويض عدم الاستجابة.

أسئلة شائعة

المراجع

1. Krejcie, R. V., & Morgan, D. W. (1970). Determining sample size for research activities. Educational and Psychological Measurement, 30(3), 607–610.
2. Thompson, S. K. (2012). Sampling (3rd ed.). Wiley.
3. Cochran, W. G. (1977). Sampling techniques (3rd ed.). Wiley.
4. Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum.